Una Introducción al Análisis Funcional

El análisis funcional es un área de las matemáticas que es el estudio de vectores, espacios vectoriales y sus operaciones. Esencialmente, de acuerdo con la matemática Atlas, es el estudio de los espacios vectoriales de dimensión infinita dentro de alguna estructura (tales como la estructura métrica o anillo). ecuaciones diferenciales y otros conceptos vector de cálculo se utilizan extensivamente en el estudio de análisis funcional.

Los hechos

Un espacio vectorial es un conjunto de elementos que tiene dos operaciones, adición y multiplicación escalar. Un espacio métrico es un conjunto con una métrica y el estudio de los espacios métricos se llama topología. El análisis funcional es un nivel avanzado de análisis matemático de las superposiciones y tiene con muchos otros tipos de matemáticas, incluyendo ecuaciones diferenciales, física matemática, análisis numérico, procesamiento de señales, análisis complejo y real, la geometría, álgebra de operadores, la topología y la probabilidad.

Historia

El análisis funcional término apareció por primera vez en 1922, en el título de Leçons de Paul Lévy de l'analizar fonctionelle. Desde entonces, el concepto de análisis funcional se ha utilizado para describir espacios de funciones (en particular, espacios de Banach y de Hilbert). Esta idea se deriva en gran parte de la obra de un matemático alemán prolífica con el nombre de David Hilbert, que hizo muchas contribuciones importantes al campo en la primera mitad del siglo XX, según primeros usos conocidos.

Caracteristicas

En particular, el análisis funcional se piensa a menudo en como el estudio de los espacios vectoriales normados completos. Estos espacios vectoriales se extienden sobre ambos números reales y complejos y se denominan formalmente espacios de Banach. Un espacio de Hilbert (llamado así en honor de David Hilbert) es un ejemplo de un espacio de Banach y es un espacio cuyo producto interno crea una norma. El análisis funcional se introduce normalmente a través del estudio de los espacios lineales y normada y seguido por los conceptos de espacios de Hilbert y funcionales lineales. Esto es seguido por la noción de espacios de Banach duales, la teoría de Hahn-Banach, delimitada operadores lineales (así como los operadores compactos, operadores duales, y los operadores pueden invertir), y finalmente los muchos aspectos de la teoría espectral.

Función

El concepto de espacios de Banach y de Hilbert son de gran importancia para las matemáticas puras, ya que son fundamentales para la comprensión de la mecánica cuántica y otras áreas de la física. Por otra parte, según el Análisis Funcional: Una introducción, el papel más importante del análisis funcional es seguir desarrollando el lenguaje matemático para la comprensión del mundo que nos rodea. matemáticas del siglo XX se basa casi exclusivamente en el análisis funcional, ya que es el estudio de las "operaciones" y su "espectro".

aplicaciones

El análisis funcional tiene muchas aplicaciones. Según Mathematical Atlas, estos incluyen modelos de colectores en espacios lineales topológicos, topología general (tales como espacios vectoriales topológicos) y espacios métricas (tales como espacios normados vector, funciones de distancia, y los productos internos).